Teorema dasar aljabar

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Fundamental theorem of algebra di Inggris.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)

Teorema dasar aljabar menyatakan bahwa setiap polinomial variabel tunggal nonkonstan dengan koefisien bilangan kompleks memiliki setidaknya satu akar kompleks. Ini termasuk polinomial dengan koefisien real, karena setiap bilangan real adalah bilangan kompleks dengan bagian imajiner sama dengan nol.

Secara ekuivalen (menurut definisi), teorema tersebut menyatakan bahwa lapangan bilangan kompleks tertutup secara aljabar.

Teorema ini dinyatakan sebagai berikut: setiap polinomial nonkonstan variabel tunggal berderajat ${\displaystyle n}$ dengan koefisien kompleks memiliki tepat ${\displaystyle n}$ akar kompleks (dengan memperhitungkan multiplisitas aljabar). Kesetaraan pernyataan ini dengan pernyataan pada paragraf pertama dapat dibuktikan melalui penggunaan pembagian polinomial yang berurutan.

Terlepas dari namanya, tidak ada bukti teorema yang murni aljabar, karena bukti apapun harus menggunakan beberapa bentuk analitik kelengkapan bilangan riil, yang merupakan bukan konsep aljabar.^[1] Selain itu, ini bukanlah teorema dasar untuk aljabar modern; namanya diberikan pada saat aljabar identik dengan teori persamaan.

1. ^ Bahkan bukti bahwa persamaan ${\displaystyle x^{2}-2=0}$ memiliki solusi melibatkan definisi bilangan real melalui beberapa bentuk kelengkapan (khususnya).