Armoniche cilindriche

In analisi matematica le armoniche cilindriche, definite per la prima volta da Daniel Bernoulli e successivamente rinominate da Bessel di cui talvolta prendono il nome (in modo erroneo nell'insieme, sono in realtà una loro sottoclasse), sono le soluzioni canoniche ${\displaystyle y(x)}$ delle equazioni di Bessel:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}$

per un numero arbitrario ${\displaystyle \alpha }$ (che rappresenta l'ordine della funzione). Poiché contengono la gamma di Eulero, il più comune e importante caso particolare è quello in cui ${\displaystyle \alpha }$ è un numero intero ${\displaystyle n}$, in cui la situazione si semplifica notevolmente col fattoriale e le armoniche acquisiscono altre proprietà particolari. Si può notare innanzitutto (per la parità della funzione in ${\displaystyle \alpha }$) che ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle -\alpha }$ hanno la stessa soluzione, per cui si usa definire convenzionalmente due differenti funzioni di Bessel per questi due ordini. Uno dei settori nel quale vengono usate è la teoria dei segnali, in particolare nel settore della modulazione dei segnali per le trasmissioni. Nello specifico le armoniche cilindriche compaiono nello sviluppo in Serie di Fourier di un segnale modulato in frequenza (FM) o di un segnale modulato in fase (PM), quando il segnale di ingresso è una sinusoide.