Classe C di una funzione

In analisi matematica, la classe ${\displaystyle C}$ di una funzione di variabile reale indica l'appartenenza della stessa all'insieme delle funzioni derivabili con continuità per un certo numero di volte. Si dice che una funzione definita su un insieme ${\displaystyle A}$ è di classe ${\displaystyle C^{k}}$ se in ${\displaystyle A}$ esistono tutte le derivate fino al ${\displaystyle k}$-esimo ordine, e la ${\displaystyle k}$-esima è continua (quando la funzione è continua si dice che è di classe ${\displaystyle C^{0}}$). Si tratta, sostanzialmente, dello spazio delle funzioni differenziabili. Il sottoinsieme delle funzioni le cui prime ${\displaystyle k}$ derivate sono limitate è uno spazio vettoriale.

La derivabilità rispetto ad una variabile garantisce la continuità della funzione rispetto a tale variabile, sicché lo spazio ${\displaystyle C^{1}(\mathbb {R} )}$ delle funzioni differenziabili con continuità sul campo reale è contenuto nello spazio ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )}$ delle funzioni continue. In generale, ${\displaystyle C^{k}}$ è contenuto in ${\displaystyle C^{k-1}}$ per ogni ${\displaystyle k}$.

Di particolare importanza è l'insieme ${\displaystyle C^{\infty }}$ delle funzioni lisce, tra le quali vi sono i polinomi, e l'insieme ${\displaystyle C^{\omega }}$ delle funzioni analitiche, definite come le funzioni lisce che sono uguali alla loro espansione in serie di Taylor attorno ad ogni punto del dominio.