Coordinate ellittiche

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Le coordinate ellittiche sono coordinate curvilinee ortogonali per lo spazio vettoriale tridimensionale. Esse vengono definite facendo riferimento a due punti localizzati mediante terne coordinate cartesiane come A=(0,0,-a) e B=(0,0,a). Per definirle si fa riferimento alla distanza R = 2a e alle due distanze del generico punto P dai punti A e B che denotiamo rispettivamente con r_A e r_B. Adottiamo quindi le coordinate

${\displaystyle \mu :={r_{A}+r_{B} \over R}}$

${\displaystyle \nu :={r_{A}-r_{B} \over R}}$

${\displaystyle \,\phi }$ angolo formato dal piano PAB con il piano y = 0

Queste coordinate hanno i seguenti campi di variabilità

${\displaystyle 1\leq \mu <+\infty \qquad -1\leq \nu \leq +1\qquad 0\leq \phi <2\pi }$ .

Le espressioni delle coordinate cartesiane a partire dalle ellittiche sono

${\displaystyle x=a{\sqrt {(\mu ^{2}-1)(1-\nu ^{2})}}\cos \phi }$

${\displaystyle y=a{\sqrt {(\mu ^{2}-1)(1-\nu ^{2})}}\sin \phi }$

${\displaystyle z\,=\,a\mu \nu }$ .

Le superfici relative a valori fissati di μ sono ellissoidi di rotazione aventi i fuochi in A e B, quelle relative a valori fissati di ν sono iperboloidi di rotazione aventi i fuochi in A e B e le superfici relative a valori fissati di φ sono semipiani definiti dall'asse delle z.

Per il volume infinitesimale si ha

${\displaystyle dV=a^{3}(\mu ^{2}-\nu ^{2})d\mu \,d\nu \,d\phi }$ .

Per l'operatore di Laplace

${\displaystyle \nabla ^{2}={1 \over a^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}\cdot }$

${\displaystyle \left\{{\partial \over \partial \mu }\left[(\mu ^{2}-1){\partial \over \partial \mu }\right]+{\partial \over \partial \nu }\left[(1-\nu ^{2}){\partial \over \partial \nu }\right]+{\mu ^{2}-\nu ^{2} \over (\mu ^{2}-1)(1-\nu ^{2})}{\partial ^{2} \over \partial \phi ^{2}}\right\}}$

Le coordinate ellittiche risultano vantaggiose per lo studio di sistemi fisici che presentano due corpi puntiformi che si mantengono a distanza costante (2a). In particolare esse facilitano la trattazione quantistica dello ione H₂⁺.