Costante di Champernowne

In matematica, la costante di Champernowne (o costante di Mahler^[1]) C₁₀ è una costante reale trascendente, la cui espansione decimale possiede delle importanti proprietà. Prende il nome dal matematico David Gawen Champernowne, che nel 1933 pubblicò un articolo su di essa.

In base 10, il numero è definito concatenando i numeri naturali nel modo seguente:

${\displaystyle C_{10}:=0,12345678910111213141516\dots ,}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle C_{10}:=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=10^{n-1}}^{10^{n}-1}{\frac {k}{10^{kn-9\sum _{k=0}^{n-1}10^{k}(n-k)}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n}{10^{n+\sum _{i=1}^{n+1}\lfloor \log(i)\rfloor }}}}$

Anche per ogni altra base si può costruire una costante in modo analogo, andando così a determinare altre costanti di Champernowne; ad esempio:

${\displaystyle C_{2}=0,11011100101110111\dots }$ (in base 2),

${\displaystyle C_{3}=0,12101112202122\dots }$ (in base 3).

Per una generica base b la costante si può esprimere come sommatoria nel modo seguente

${\displaystyle C_{b}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=b^{n-1}}^{b^{n}-1}kb^{-n\left[k-(b^{n-1}-1)\right]}}{b^{\sum _{k=0}^{n-1}k(b-1)b^{k-1}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n}{b^{n+\sum _{i=1}^{n+1}\lfloor \log(i)\rfloor }}}.}$