Differenziale (matematica)

In matematica, in particolare nel calcolo infinitesimale, il differenziale di una funzione quantifica la variazione infinitesimale della funzione rispetto ad una variabile indipendente. Per una funzione ${\displaystyle y=f(x)}$ di una sola variabile ${\displaystyle x}$, per esempio, il differenziale ${\displaystyle dy}$ di ${\displaystyle f}$ è definito dalla 1-forma:

${\displaystyle dy(x,dx)=f'(x)dx,}$

dove ${\displaystyle f'}$ denota la derivata di ${\displaystyle f}$ rispetto a ${\displaystyle x}$, ovvero il limite del rapporto incrementale ${\displaystyle \Delta f/\Delta x}$ per ${\displaystyle \Delta x}$ indefinitamente piccolo, e ${\displaystyle dx}$ l'incremento della variabile indipendente.

Se si considera una funzione ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ derivabile, con ${\displaystyle U}$ aperto in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, essa può essere approssimata in un intorno di un qualsiasi punto ${\displaystyle x_{0}}$ del dominio mediante la funzione

${\displaystyle l(x)=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})}$

il cui grafico è la retta tangente al grafico di ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$. La funzione ${\displaystyle l}$ è un'applicazione affine da ${\displaystyle \mathbb {R} }$ in sé, cioè un'applicazione lineare sulla distanza da ${\displaystyle x_{0}}$ composta con una traslazione (l'aggiunta del termine ${\displaystyle +f(x_{0})}$). Il differenziale è allora la parte lineare di ${\displaystyle l}$.

Le derivate direzionali di una funzione indicano di quanto varia la funzione al primo ordine lungo un determinato vettore, mentre il differenziale è l'applicazione lineare che associa a quel vettore la variazione al primo ordine. Si tratta pertanto di un oggetto utile per avere informazioni locali sulla funzione di partenza, ad esempio mostra se è localmente invertibile.