Differenziale esatto

Nel calcolo infinitesimale, un differenziale esatto o differenziale totale è una forma differenziale esatta:

${\displaystyle \operatorname {d} Q=A_{1}(x_{1},x_{2},\dots )\operatorname {d} x_{1}+A_{2}(x_{1},x_{2},\dots )\operatorname {d} x_{2}+\dots }$

cioè tale per cui esiste una funzione ${\displaystyle Q(x_{1},x_{2},\dots )}$, detta potenziale, che soddisfa:^[1]

${\displaystyle A_{1}={\frac {\partial Q}{\partial x_{1}}}\qquad A_{2}={\frac {\partial Q}{\partial x_{2}}}\qquad \dots }$

Un differenziale è esatto se e solo se è integrabile, cioè se la grandezza ${\displaystyle Q}$ è esprimibile come funzione di classe ${\displaystyle C^{2}}$, la cui immagine è un sottoinsieme dei numeri reali. L'implicazione diretta dipende dal fatto che la seconda classe di continuità ammette sempre un solo differenziale ${\displaystyle \operatorname {d} Q}$. Per generalizzare la nozione di differenziale come infinitesimo a quantità ${\displaystyle Q}$ definite arbitrariamente risulta utile avere un criterio per determinare se ${\displaystyle Q}$ sia esprimibile come funzione delle sue variabili, o se invece non lo sia, anche perché in quest'ultimo caso risulta non conservata su un integrale chiuso nelle sue variabili.