Fascio (teoria delle categorie)

In matematica, un fascio è uno strumento per tracciare sistematicamente dati (come insiemi, gruppi abeliani, anelli) assegnati ad insiemi aperti di uno spazio topologico e definiti localmente rispetto ad essi. Ad esempio, per ogni insieme aperto, i dati potrebbero essere l'anello delle funzioni continue definite su quell'insieme aperto. Tali dati sono ben costruiti in quanto possono essere limitati a insiemi aperti più piccoli e i dati assegnati a un insieme aperto sono equivalenti a tutte le raccolte di dati compatibili assegnati a raccolte di insiemi aperti più piccoli che ricoprono l'insieme aperto originale (intuitivamente, ogni pezzo dei dati è completamente ottenibile delle sue parti). I fasci sono intesi a livello concettuale come oggetti generali e astratti. La loro definizione precisa è particolarmente tecnica. Sono denominati, ad esempio, fasci di insiemi o fasci di anelli a seconda del tipo di dati assegnati agli insiemi aperti.

Per la loro natura generale e versatilità, i fasci hanno diverse applicazioni in topologia e soprattutto in geometria algebrica e differenziale. Un fascio è uno degli strumenti fondamentali per lo studio delle proprietà geometriche degli oggetti. Un fascio permette di esprimere le relazioni tra piccole regioni di uno spazio topologico e lo spazio totale. Per costruire un fascio si parte, in genere, da uno spazio topologico X, e si assegna ad ogni sottoinsieme aperto U di X un dato F(U), quale un insieme, un gruppo, o un anello. In genere, se si vogliono studiare proprietà geometriche dello spazio topologico X, il dato F(U) assegnato all'aperto U è costituito da una famiglia di oggetti geometrici definiti su U, come funzioni, campi vettoriali, o forme differenziali.