Funzionale lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, un funzionale lineare o forma lineare è un'applicazione lineare da uno spazio vettoriale nel suo campo di scalari. Può trattarsi di un funzionale inteso come funzione che ha per argomento un'altra funzione, ma non è necessariamente definito sempre così. Il termine "funzionale lineare" è usato specialmente in analisi funzionale, mentre "forma lineare" è più usato in geometria, dove una forma lineare è un particolare esempio di forma multilineare.

L'insieme dei funzionali lineari agenti su uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ forma a sua volta uno spazio vettoriale, lo spazio duale ${\displaystyle {\tilde {V}}}$ (spesso denotato anche con ${\displaystyle V^{*}}$ o ${\displaystyle V'}$).

In ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, se i vettori sono rappresentati come vettori colonna, i funzionali lineari sono vettori riga, che agiscono sui vettori colonna per mezzo di un prodotto scalare (in generale, una forma sesquilineare) o un prodotto matriciale (tra un vettore riga a sinistra e un vettore colonna a destra). Ad esempio, dati i vettori colonna:

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}}$

allora ogni funzionale lineare ${\displaystyle f}$ può essere scritto in tali coordinate come una somma del tipo:

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}$

Si tratta del prodotto matriciale tra il vettore riga ${\displaystyle [a_{1}\dots a_{n}]}$ e il vettore colonna ${\displaystyle \mathbf {x} }$:

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=[a_{1}\dots a_{n}]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}}$

I funzionali lineari sono stati inizialmente introdotti nell'ambito dell'analisi funzionale, in particolare nello studio degli spazi funzionali vettoriali. Un tipico esempio di funzionale lineare è l'operatore integrale di Riemann:

${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

che è definito sullo spazio vettoriale ${\displaystyle C[a,b]}$ delle funzioni continue sull'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ e mappa nel campo dei reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$. La linearità si vede da note proprietà degli integrali:

${\displaystyle I(f+g)=\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)}$

${\displaystyle I(\alpha f)=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f)}$

I funzionali lineari sono molto utilizzati in fisica.