Funzione parabolica del cilindro

In matematica, una funzione parabolica del cilindro è una funzione speciale che è soluzione dell'equazione differenziale lineare del secondo ordine detta equazione di Weber, un caso particolare dell'equazione ipergeometrica confluente che ha la forma:

${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(az^{2}+bz+c\right)f=0}$

dove ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ sono costanti. Si tratta di un'equazione che può essere ricavata dall'equazione di Laplace espressa in coordinate parabolico cilindriche tramite separazione delle variabili. Storicamente le funzioni paraboliche del cilindro furono infatti introdotte dal matematico tedesco Weber nel 1869 per risolvere l'equazione di Helmholtz in coordinate paraboliche.