Insieme chiuso

In topologia, un insieme chiuso è un sottoinsieme di uno spazio topologico tale che il suo complementare è aperto, oppure, equivalentemente, un insieme è chiuso se contiene la sua frontiera. Intuitivamente se un insieme è chiuso vuol dire che il "bordo" dell'insieme appartiene all'insieme stesso.

Gli insiemi chiusi hanno quindi le seguenti proprietà, "complementari" a quelle degli insiemi aperti, valide in un qualsiasi spazio topologico ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$:

1. l'unione di un numero finito di chiusi è ancora un chiuso;
2. l'intersezione di una collezione arbitraria di chiusi è ancora un chiuso;
3. l'intero insieme ${\displaystyle X}$ e l'insieme vuoto sono chiusi.

Si possono usare queste proprietà come assiomi per definire una topologia su ${\displaystyle X}$ a partire dai chiusi, che coincide con quella generata nel modo usuale dalla famiglia ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ degli aperti complementari.