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In uno spazio euclideo un insieme convesso è un insieme nel quale, per ogni coppia di punti, il segmento che li congiunge è interamente contenuto nell'insieme.
Esempi di insiemi convessi sono cerchi, sfere, cubi, piani, semipiani, trapezi, mentre non lo sono archi di circonferenze, tori o qualunque insieme che contenga buchi o incavature o che non sia connesso. In tre dimensioni, esempi di insiemi convessi sono la sfera, il cubo, il paraboloide, mentre esempi di insiemi non convessi sono il toro, l'iperboloide iperbolato. In termini più intuitivi una figura convessa è una figura "che esubera", mentre una figura concava è una figura "che rientra". In insiemistica non si adopera la definizione di insieme concavo, bensì la nozione più articolata di spazio connesso.
Nello studio delle funzioni, si può definire una funzione convessa come funzione il cui epigrafico è un sottoinsieme convesso del piano.