Numero di Liouville

Un numero di Liouville è un numero reale che può essere approssimato "molto bene" con una successione di numeri razionali.

Formalmente, un numero ${\displaystyle x}$ è di Liouville se per ogni numero intero positivo ${\displaystyle n}$ esistono degli interi ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ con ${\displaystyle q>1}$ tali che

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}}$.

Una definizione equivalente è che per ogni ${\displaystyle n}$ esistono infinite coppie ${\displaystyle (p,q)}$ di interi che verificano questa proprietà.

Si dimostra facilmente che ogni numero di Liouville è irrazionale. Nel 1844 Joseph Liouville dimostrò che i numeri che oggi portano il suo nome sono non solo irrazionali, ma anche trascendenti.

Si dimostra che i numeri di Liouville nell'intervallo ${\displaystyle [0,1]}$ sono non numerabili, ma hanno misura nulla.^[1] Questo implica che non tutti i numeri trascendenti sono di Liouville, e che anzi questa classe di numeri è molto piccola rispetto all'insieme dei numeri trascendenti. Esempi di numeri trascendenti ma non di Liouville sono il numero di Nepero (${\displaystyle e}$) e pi greco (${\displaystyle \pi }$).

La costante di Liouville, che, come non è difficile dimostrare, è un esempio di numero di Liouville, è il primo numero del quale è stata dimostrata la trascendenza.