Operatore di Laplace

In matematica e fisica, in particolare nel calcolo differenziale vettoriale, l'operatore di Laplace o laplaciano, il cui nome è dovuto a Pierre Simon Laplace, è un operatore differenziale del secondo ordine definito come la divergenza del gradiente di una funzione in uno spazio euclideo, ed è solitamente rappresentato dai simboli ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$, ${\displaystyle \nabla ^{2}}$, o ${\displaystyle \Delta }$.

Si tratta di un operatore ellittico, che in coordinate cartesiane è definito come la somma delle derivate parziali seconde non miste rispetto alle coordinate. L'operatore di Laplace può operare da due fino ad n dimensioni e può essere applicato sia a campi scalari, sia a campi vettoriali. Le funzioni di classe ${\displaystyle C^{2}}$ che annullano il laplaciano, ovvero che soddisfano l'equazione di Laplace, sono le funzioni armoniche.

L'operatore di Laplace viene generalizzato a spazi non euclidei, dove si presenta anche nella forma, ad esempio, di operatore ellittico, iperbolico. In particolare, nello spaziotempo di Minkowski l'operatore di Laplace-Beltrami diventa l'operatore di d'Alembert.

Il laplaciano viene impiegato, ad esempio, per modellare la propagazione ondosa ed il flusso del calore, comparendo nell'equazione di Helmholtz. Riveste un ruolo centrale anche in elettrostatica, dove è utilizzato nell'equazione di Laplace e nell'equazione di Poisson. In meccanica quantistica rappresenta l'osservabile energia cinetica ed è presente nell'equazione di Schrödinger. In idraulica viene utilizzato per ricavare l'espressione della cadente piezometrica in funzione delle caratteristiche di una corrente intubata nel regime laminare. Infine, l'operatore di Laplace si trova al centro della teoria di Hodge e dei risultati della coomologia di De Rham.