Piccolo teorema di Fermat

Il piccolo teorema di Fermat dice che se ${\displaystyle p}$ è un numero primo, allora per ogni intero ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}}$

Questo significa che se si prende un qualunque numero ${\displaystyle a}$, lo si moltiplica per se stesso ${\displaystyle p}$ volte e si sottrae ${\displaystyle a}$, il risultato è divisibile per ${\displaystyle p}$ (vedi aritmetica modulare). È spesso espresso nella forma equivalente: se ${\displaystyle p}$ è primo e ${\displaystyle a}$ è un intero coprimo con ${\displaystyle p}$, allora:

${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$

Va notato che la prima espressione è in un certo senso più generale: è infatti valida per numeri interi ${\displaystyle a}$ arbitrari, come ${\displaystyle 0}$ o multipli di ${\displaystyle p}$, che invece non rientrano nelle ipotesi della seconda.

È chiamato il piccolo teorema di Fermat per differenziarlo dall'ultimo teorema di Fermat.

Il piccolo teorema di Fermat è la base del test di primalità di Fermat.