Pull-back

In matematica, con il termine pull-back, che tradotto letteralmente dall'inglese significa "tirare indietro", ci si riferisce ad un operatore lineare che, dati due spazi vettoriali ${\displaystyle {\mathcal {V,W}}}$ e un operatore lineare ${\displaystyle {\mathcal {L}}\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {W}}}$, ad ogni tensore ${\displaystyle T\in \mathbf {T} _{q}^{p}({\mathcal {W}})}$ associa un tensore dello stesso tipo su ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$. Più in generale, questa operazione può essere fatta quando al posto di ${\displaystyle {\mathcal {V,W}}}$ si considerino due varietà lisce ${\displaystyle {\mathcal {M,N}}}$ qualsiasi, sostituendo all'operatore lineare ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ un'applicazione liscia ${\displaystyle \Phi \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {N}}}$ e al tensore ${\displaystyle T}$ un campo tensoriale liscio su ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$.

Nel definire questa operazione si procede per gradi, mostrando che per certi tipi di tensori (o campi tensoriali) all'applicazione lineare (o alla funzione ${\displaystyle \Phi }$) non è richiesto che sia un isomorfismo (o diffeomorfismo).

Esiste un operatore "duale" del pull-back che prende il nome di push-forward.