Serie di funzioni

In analisi matematica, una serie di funzioni è uno strumento usato per generalizzare lo studio della somma di un numero finito di funzioni e giungere ad alcuni importanti risultati di convergenza, per poter esprimere una funzione qualsiasi come una somma (infinita) di altre funzioni, magari più semplici da trattare.

Una serie di funzioni, analogamente alle serie numeriche, è definita come una particolare successione associata ad un'altra successione.

Tale successione è una successione di funzioni ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$, cioè ogni elemento della successione è una funzione ${\displaystyle f_{n}(x):D\longrightarrow \mathbb {R} }$, e la serie associata è definita dalla legge ${\displaystyle \{s_{n}(x)=f_{0}+\cdots +f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ e si indica anche con:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)}$

Nel definire le serie di funzioni, e nell'enunciarne molti teoremi e proprietà, non è affatto necessario presupporre su D alcuna struttura. Dove sia richiesto, l'insieme D potrà essere uno spazio topologico, metrico, etc. o un certo sottoinsieme di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ o ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

In analogia con le serie numeriche, i termini ${\displaystyle f_{n}}$ e ${\displaystyle s_{n}}$ vengono detti rispettivamente termine generale e somma parziale della serie.