Sezione aurea

Sezione aurea
Simbolo	${\displaystyle \varphi }$
Valore	1,6180339887... (sequenza A001622 dell'OEIS)
Frazione continua	[1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...] (sequenza A000012 dell'OEIS)
Insieme	numeri algebrici irrazionali
Costanti correlate	Costante di Viswanath
Il segmento totale ${\displaystyle c}$ sta al segmento più lungo ${\displaystyle a}$ come quest'ultimo ${\displaystyle a}$ sta al segmento più corto ${\displaystyle b}$: ${\displaystyle c:a=a:b=\varphi }$

La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il numero irrazionale 1,6180339887... ottenuto effettuando il rapporto fra due lunghezze disuguali delle quali la maggiore ${\displaystyle a}$ è medio proporzionale tra la minore ${\displaystyle b}$ e la somma delle due ${\displaystyle (a+b)}$:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \varphi .}$

Valgono pertanto le seguenti relazioni:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\frac {a}{b}}}.}$

Considerando solo il primo e l'ultimo membro e tenendo conto della definizione di ${\displaystyle \varphi }$ possiamo anche scrivere

${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }},}$

(1)

da cui discende l'equazione polinomiale a coefficienti interi

${\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi -1=0.}$

(2)

Delle due soluzioni dell'equazione, quella positiva (unica ammissibile, essendo ${\displaystyle \varphi }$ una quantità positiva per definizione) porta alla determinazione del valore della sezione aurea dato da:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}6180339887.}$

(3)

La sezione aurea è quindi un numero irrazionale (ossia non rappresentabile mediante rapporto di numeri interi data la presenza di ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ nel numeratore della (3)) e algebrico (ovvero soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi come evidenziato dalla (2)). Può essere approssimata effettuando il rapporto fra termini consecutivi ${\displaystyle ({\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}},{\frac {8}{5}},...)}$ della successione di Fibonacci a cui è strettamente connessa.

I due segmenti ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ possono essere ottenuti graficamente come illustrato nella figura a fianco. La base del rettangolo è pari a ${\displaystyle ({\frac {1}{2}}a+{\frac {\sqrt {5}}{2}}a)}$ e la sua altezza è pari ad ${\displaystyle a}$: il loro rapporto in base alla (3) dà proprio la sezione aurea.

Se nella (1) si sostituisce iterativamente alla ${\displaystyle \varphi }$ a denominatore tutto il secondo membro anch'esso pari a ${\displaystyle \varphi }$ otteniamo la frazione continua:

${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+\ldots }}}}}}}}.}$

Un'altra rappresentazione di ${\displaystyle \varphi }$ come frazione continua generalizzata è costituita dai quadrati dei numeri di Fibonacci e delle aree del rettangolo aureo:

${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{1^{2}+{\frac {1^{2}}{1^{2}+{\frac {2^{2}}{2^{2}+{\frac {6^{2}}{3^{2}+{\frac {15^{2}}{5^{2}+{\frac {40^{2}}{8^{2}+{\frac {104^{2}}{13^{2}+\ldots }}}}}}}}}}}}}}.}$

Le sue proprietà geometriche e matematiche e la frequente riproposizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno suscitato per secoli nella mente dell'uomo la conferma dell'esistenza di un rapporto tra macrocosmo e microcosmo, tra Dio e l'uomo, l'universo e la natura: un rapporto tra il tutto e la parte, tra la parte più grande e quella più piccola che si ripete all'infinito attraverso infinite suddivisioni.^[1] Diversi filosofi e artisti sono arrivati a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale canone di bellezza; testimonianza ne è la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di aureo e divino.