Spazio vettoriale

In matematica, uno spazio vettoriale, anche detto spazio lineare, è una struttura algebrica composta da:

• un campo, i cui elementi sono detti scalari;
• un insieme, i cui elementi sono detti vettori;
• due operazioni binarie, dette addizione e moltiplicazione per scalare, caratterizzate da determinate proprietà.^[1]

Si tratta di una struttura algebrica di grande importanza, ed è una generalizzazione dell'insieme formato dai vettori del piano cartesiano ordinario (o dello spazio tridimensionale) dotati delle operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione di un vettore per un numero reale. Gli spazi vettoriali più utilizzati sono quelli sui campi reale ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e complesso ${\displaystyle \mathbb {C} }$, denominati rispettivamente "spazi vettoriali reali" e "spazi vettoriali complessi".

Si incontrano spazi vettoriali in numerosi capitoli della matematica moderna e nelle sue applicazioni: questi servono innanzitutto per studiare le soluzioni dei sistemi di equazioni lineari e delle equazioni differenziali lineari. Con queste equazioni si trattano moltissime situazioni: quindi si incontrano spazi vettoriali nella statistica, nella scienza delle costruzioni, nella meccanica quantistica, nella teoria dei segnali, nella biologia molecolare, ecc. Negli spazi vettoriali si studiano anche sistemi di equazioni e disequazioni e in particolare quelli che servono alla programmazione matematica e in genere alla ricerca operativa.

Strutture algebriche preliminari agli spazi vettoriali sono quelle di gruppo, anello e campo. Vi sono poi numerose strutture matematiche che generalizzano e arricchiscono quella di spazio vettoriale; alcune sono ricordate nell'ultima parte di questo articolo.