Matrix (wiskunde)

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een matrix, meervoud: matrices, een rechthoekig getallenschema. De gebruikelijke voorstelling van zo'n rechthoekig schema is met een zijde in de schrijfrichting en de andere loodrecht daarop, zodat de getallen daar in rijen en kolommen in geordend staan. De matrix is een middel om samenhangende gegevens en hun bewerkingen op een systematische en overzichtelijke wijze weer te geven. De naam matrix werd in 1848 ingevoerd door de Britse wiskundige J.J. Sylvester.

Indien er ${\displaystyle m}$ rijen en ${\displaystyle n}$ kolommen zijn, spreekt men van een ${\displaystyle m\times n}$-matrix. Het gebruik is dus dat het eerste cijfer de hoogte aangeeft en het tweede de breedte. Als ${\displaystyle n=m}$ is het een vierkante matrix. De getallen heten de elementen van de matrix. Een ${\displaystyle m\times n}$-matrix ${\displaystyle \mathbf {A} }$ heeft dus ${\displaystyle m\times n}$ elementen. Het element op het kruispunt van de ${\displaystyle r}$-de rij en de ${\displaystyle k}$-de kolom wordt aangeduid als het ${\displaystyle rk}$-de element en genoteerd als ${\displaystyle \mathbf {A} _{rk}}$. Voor de matrix zelf noteert men wel: ${\displaystyle (\mathbf {A} _{rk})}$. Andere notaties worden ook gebruikt, onder andere, waarin het ${\displaystyle rk}$-de element van een matrix ${\displaystyle \mathbf {A} }$ geschreven wordt als ${\displaystyle a_{rk}}$. Het volgende voorbeeld toont een 2×3-matrix ${\displaystyle \mathbf {A} }$ met gehele getallen als elementen:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}4&-1&0\\2&1&5\end{bmatrix}}}$

We zien bijvoorbeeld dat ${\displaystyle \mathbf {A} _{12}=-1}$ en ${\displaystyle \mathbf {A} _{23}=5}$.

Matrices zijn belangrijke instrumenten in de lineaire algebra. Men gebruikt ze onder andere om lineaire afbeeldingen mee weer te geven. Matrixvermenigvuldiging komt overeen met samenstelling van lineaire afbeeldingen. Matrices kunnen ook worden gebruikt om een overzicht te geven van de coëfficiënten in een stelsel van lineaire vergelijkingen. De determinant bepaalt voor een vierkante matrix voor een deel welke oplossingen het corresponderende stelsel van lineaire vergelijkingen heeft. De eigenwaarden en eigenvectoren van een matrix geven inzicht in de meetkunde van de geassocieerde lineaire transformatie.

Matrices worden in de wiskunde en in de toepassingen ervan veel gebruikt. In de natuurkunde maakt men op verscheidene gebieden gebruik van matrices, zoals bij de meetkundige optica en de matrixmechanica. De laatste toepassing heeft geleid tot een meer gedetailleerde studie van matrices met een oneindig aantal rijen en kolommen. De grafentheorie maakt gebruik van matrices om afstanden tussen paren knopen in een graaf bij te houden. Computergraphics gebruikt matrices om de driedimensionale ruimte op een tweedimensionaal vlak te projecteren. De matrixrekening generaliseert klassieke analytische begrippen zoals afgeleiden van functies en exponentiële functies naar matrices, wat toepassing vindt bij het oplossen van gewone differentiaalvergelijkingen. Het serialisme en de dodecafonie zijn 20e-eeuwse muzikale stromingen die gebruikmaken van een vierkante matrix om het patroon van de intervallen te bepalen.

Een belangrijke tak van de numerieke analyse is gewijd aan de ontwikkeling van efficiënte algoritmen voor matrixberekeningen, een onderwerp dat, hoewel al eeuwen oud, nog steeds een actief gebied van wiskundig onderzoek is. Methoden voor matrix-decompositie vereenvoudigen zowel theoretische als praktische berekeningen. Voor ijle matrices, dat wil zeggen matrices die naar verhouding veel nullen bevatten, kunnen specifiek ontworpen algoritmen tot versnelde berekeningen leiden. Dergelijke matrices spelen bijvoorbeeld een rol in de eindige-elementenmethode.