Telegrafi er eit system for overføring og mottak av meldingar over lange avstandar. Ein telegraf inngår i eit system for telegrafi. Det første vellykka telegrafisystemet kom ikkje før i 1844, men eksperiment med ulike former for fjernskriving hadde pågått sidan 1770-åra. Oppfinninga av den elektriske telegrafien blei gjord av Samuel Morse. Systemet baserte seg på at ein elektrisk krets blei vekselvis broten og avslutta ved hjelp av ein telegrafnøkkel (sendar). Til telegrafi laga Morse eit eige alfabet av punkt og strekar, morsealfabetet. Dette fekk han også patent på. Andre prøvde seg med system som automatisk reproduserte alle tala og bokstavane.
I gamle dagar overførte ein bodskap på lange strekningar ved hjelp av flagg, faklar og liknande. Eit slik system blei kalla optisk telegrafi, med tilhøyrande optisk telegraf. Med telegrafi blei det mogleg å transportera informasjon med farten til lys, sjølv om det ikkje var noko fysisk kontakt mellom mottakar og sendar. Den første morsetelegraflinja blei oppretta i 1845 mellom Washington og Baltimore. Morsetelegrafen slo raskt ut sin konkurrent visertelegrafen, blant anna fordi det gjekk an å skrive ned og oppbevare meldingar. I Europa og USA spreidde telegrafnettet seg raskt. Ein av grunnane til dette var avisene sitt behov for ferske nyhende. I 1858 blei det aller første telegrammet sendt over Atlanterhavet i ein undersjøisk kabel.
Frå byrjinga av 1900-talet har ein i tillegg sendt telegrafi over radio, såkalla radiotelegrafi. Ei melding som vert send via telegraf eller telex vert kalla for telegram.
Mot slutten av 1900-talet blei telegrafi mange stader erstatta av mellom anna databasert kommunikasjon. Radioamatørar held ved like kunnskapen om telegrafi.