Implikacja logiczna

Implikacja logiczna (wynikanie) – relacja (lub w innym ujęciu symbol relacyjny) pomiędzy teoriami (zbiorami zdań logicznych) ${\displaystyle T}$ i ${\displaystyle B}$ jest spełniona, gdy każdy model teorii ${\displaystyle T}$ jest także modelem teorii ${\displaystyle B.}$ Często jest mylona z implikacją materialną, będącą szczególnym przypadkiem zdania.

Bez odwoływania się do teorii modeli można stwierdzić, że implikacja logiczna jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest możliwe, że zdanie ${\displaystyle B}$ jest fałszywe i jednocześnie wszystkie zdania ${\displaystyle T}$ są prawdziwe.

Implikacja logiczna jest oznaczana:

${\displaystyle T\models B}$

Zawsze prawdziwe prawa logiczne (wynikające z pustego zbioru twierdzeń) oznaczane są:

${\displaystyle \models B.}$

Jeśli chcemy jakieś prawo logiczne uznać za regułę wnioskowania, czyli dołączać nowe zdania w oparciu o już istniejące, możemy zastosować zapis:

${\displaystyle {\frac {T_{1},T_{2},\dots }{B}}}$

oznaczający, że w przypadku, gdy do danej niesprzecznej teorii należą zdania ${\displaystyle T_{1},T_{2},\dots ,}$ można do niej dołączyć także zdanie ${\displaystyle B,}$ bez spowodowania sprzeczności.