Liczby rzeczywiste

Liczby rzeczywiste – uogólnienie liczb wymiernych na wszystkie liczby odpowiadające punktom na osi liczbowej^[1], zwanej też prostą rzeczywistą. Liczby rzeczywiste pozwalają opisać wszelkie odległości, liczby do nich przeciwne oraz inne wielkości skalarne. Zbiór liczb rzeczywistych oznacza się symbolem ${\displaystyle \mathbb {R} }$^[1] lub ${\displaystyle \mathbf {R} .}$

Każdą liczbę rzeczywistą można zapisać ułamkiem dziesiętnym, przy czym nie musi on mieć takich własności, jak dla liczb wymiernych – może jednocześnie nie być skończony ani ostatecznie okresowy^[1]. Ta odpowiedniość zachodzi też w drugą stronę – każdy ułamek dziesiętny nieskończony odpowiada jakiejś liczbie rzeczywistej, przez co takie ciągi cyfr mogą być użyte do definiowania liczb rzeczywistych^[1].

Zrozumienie, że ułamki zwykłe – tj. stosunki dwóch liczb naturalnych – nie wystarczą do opisu niektórych długości, przyniosła starożytność^[2]. Wtedy zakon Pitagorejczyków udowodnił, że pierwiastek kwadratowy z dwóch (${\displaystyle {\sqrt {2}}}$) jest niewymierny^[3]. Czasy nowożytne przyniosły rozwój matematyki wyższej, a wraz z nią:

• nazwę liczby rzeczywiste, użytą w kontraście do liczb urojonych^[4][5];
• formalne, ścisłe definicje liczb rzeczywistych, podane niżej;
• opisy własności tego zbioru, np. jego mocy;
• rozmaite uogólnienia;
• inne obiekty, które nazwano liczbami, mimo że nie leżą na osi rzeczywistej, wymienione w dalszej sekcji.

Za pomocą zbioru liczb rzeczywistych definiuje się:

• przedziały liczbowe;
• przestrzenie kartezjańskie, będące podstawą geometrii analitycznej;
• funkcje rzeczywiste badane przez analizę rzeczywistą.