Diskriminanta

Diskriminanta (oznaka ${\displaystyle \Delta }$) je v algebri pojem, ki se uporablja v povezavi z mnogočleniki. Diskriminanta je izraz, ki daje podatke o vrstah ničel (korenov) mnogočlenika oziroma enačbe, če izenačimo mnogočlenik z 0.

Izraz izhaja iz latinske besede discriminar, kar pomeni razlikovati. Izraz je vpeljal angleški matematik James Joseph Sylvester (1814 – 1897).

Najenostavneša in najbolj znana je diskriminanta kvadratnega mnogočlenika z obliko

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}$

Diskriminanta kvadratnega mnogočlenika se izračuna z obrazcem

${\displaystyle \Delta =\,b^{2}-4ac.}$

V tem primeru ima kvadratni mnogočlenik takrat, ko je ${\displaystyle \Delta >0\,}$ dve realni ničli (korena) mnogočlenika. Kadar pa je ${\displaystyle \Delta =0\,}$ ima mnogočlenik samo eno realno ničlo, kadar pa je ${\displaystyle \Delta <0\,}$ mnogočlenik nima realnih ničel.

Diskriminanta mnogočlenika tretje stopnje (kubični mnogočlenik) z obliko

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$

je enaka

${\displaystyle \,b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd}$.

Diskriminante mnogočlenikov višjih stopenj imajo še več členov: tako ima diskriminanta mnogočlenika, ki pripada enačbi četrte stopnje (kvartna funkcija) 16 členov ^[1] , diskriminanta mnogočlenika, ki pripada enačbi pete stopnje (kvintna funkcija) pa 59 členov ^[2].

Če pa iščemo diskriminanto mnogočlenika, ki pripada enačbi šeste stopnje pa ima že 246 členov ^[3].

Mnogočleniki imajo večkratne ničle (lahko tudi med komplesnimi števili), če in samo, če je njihova diskriminanta enaka 0.

To velja tudi, če imajo mnogočleniki koeficiente v obsegu, ki ne vsebuje kompleksnih števil.

1. ↑ Wang, Dongming (2004). Elimination practice: software tools and applications. Imperial College Press. str. 180. ISBN 1-860-94438-8., Chapter 10 page 180
2. ↑ Gelfand, I. M.; Kapranov, M. M.; Zelevinsky, A. V. (1994). Discriminants, resultants and multidimensional determinants. Birkhäuser. str. 1. ISBN 3-7643-3660-9., Preview page 1
3. ↑ Dickenstein, Alicia; Emiris, Ioannis Z. (2005). Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications. Springer. str. 26. ISBN 3-540-24326-7., Chapter 1 page 26