Elementarna funkcija

Elementárna fúnkcija je v matematiki funkcija, ki jo je moč sestaviti iz končnega števila osnovnih elementarnih funkcij, kot so:

• polinomi (cele racionalne),
• racionalne,
• potenčne,
• eksponentne in logaritemske,
• trigonometrične in obratne trigonometrične,

konstant, ene spremenljivke in korenov s pomočjo kompozicij in kombinacij s štirimi dvočlenimi elementarnimi operacijami (+ - × ÷). Trigonometrične funkcije in njihovi obrati so elementarne funkcije, kjer nastopajo kompleksne spremenljivke. Vsako elementarno funkcijo lahko podamo z enačbo, naborom končnega števila simbolov z odgovarjajočimi operacijami.

Koreni enačb so funkcije implicitno določeni kot rešitve polinomske enačbe s konstantnimi koeficienti. Za polinome stopnje 4 ali manjše obstajajo točne enačbe za korene, ki so elementarne funkcije. Tudi za polinome večjih stopenj osnovni izrek algebre in izrek o implicitni funkciji zagotavljata obstoj funkcije, ki da vsak koren polinomske enačbe.

Zgleda drugih elementarnih funkcij sta:

${\displaystyle {\frac {e^{\operatorname {tg} \,x}}{1-x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+\ln ^{2}x}}\,\right)\!\,,}$

s kompleksnima korenoma (${\displaystyle e^{i},e^{-i}}$) in:

${\displaystyle \,\ln(-x^{2})\!\,,}$

s kompleksnima korenoma (${\displaystyle i,-i}$). Definicijsko območje zadnje funkcije ne vsebuje nobenega realnega števila. Zgled funkcije, ki ni elementarna, je funkcija napake:

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t\!\,.}$

Dejstvo, da je ta funkcija neelementarna, ni neposredno razvidno iz njene opredelitve - lahko pa se pokaže s pomočjo Rischevega algoritma.

Elementarne funkcije je v splošnem uvedel Joseph Liouville v nizu člankov med letoma 1833 in 1841. Algebrsko obravnavo elementarnih funkcij je začel Joseph Fels Ritt v 30-ih 20. stoletja. Liouville je pri raziskovanju funkcij kompleksnih spremenljivk opredelil elementarne funkcije nekoliko širše.