Avbildning

Wiktionary har en ordboksartikel om avbildning.

Inom matematik är en avbildning, T, från en mängd X till en mängd Y, en hopparning av vissa element från X med vissa element från Y. Denna parning är sådan att ett X-element paras ihop med bara ett Y-element; X-elementet x paras ihop med Y-elementet Tx.

• De X-element som ingår i parningen utgör vad som kallas avbildningens definitionsmängd D(T). I allmänhet är detta en delmängd av mängden X:

${\displaystyle D(T)\subseteq X.}$

• De Y-element som ingår i parningen utgör vad som kallas avbildningens värdemängd R(T). I allmänhet är detta en delmängd av mängden Y:

${\displaystyle R(T)\subseteq Y.}$

• Om definitionsmängden utgör hela mängden X säger man att avbildningen är injektiv:

${\displaystyle D(T)\,=X}$

• Om värdemängden utgör hela Y-mängden säger man att avbildningen är surjektiv:

${\displaystyle R(T)\,=Y.}$

• En avbildning som är både injektiv och surjektiv kallar man en bijektiv avbildning.

En operator är en avbildning där mängden X är ett vektorrum och där mängden Y också är ett vektorrum.

En funktional är en avbildning där mängden X är ett vektorrum och mängden Y är en delmängd av de komplexa talen.

Ofta används begreppet funktion synonymt med avbildning, men ibland görs åtskillnad mellan dessa begrepp. I dessa fall menas med en funktion en avbildning där mängden X kan vara vad som helst, men där mängden Y är en delmängd av de komplexa talen.

Mängden av de komplexa talen är ett vektorrum, så en funktional är en särskild slags operator och även en särskild slags funktion.