Fri modul

En fri modul är i matematiken ett fritt objekt i en kategori av (ensidiga) moduler över någon ring. För en given mängd S är den fria modulen på S en (viss) fri modul med bas S. Löst uttryckt är en modul fri om den har "lika bra egenskaper" som linjära rum har.

Varje linjärt rum är fritt (som modul över sin kropp av skalärer). En ändligtgenererad abelsk grupp är fri (som modul över Z) precis om den är torsionsfri.

Ett annat viktigt exempel är modulen av n-tuppler över en godtycklig unitär ring A,

${\displaystyle A^{n}=\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}):a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in A\}}$

där n är ett godtyckligt positivt heltal. (Om n är 2 så kallas n-tupplerna par, och om n är 3 så kallas de trippler.) n-tuppler adderas post för post, och multipliceras med ett ringelement genom att varje ringelement multipliceras med detta:

${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})+(y_{1},\ldots ,y_{n})=(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})}$, och ${\displaystyle a\,(x_{1},\ldots ,x_{n})=(ax_{1},\ldots ,ax_{n})}$.

Denna modul har en standardbas, som består av mängden av alla n-tuppler som har posten noll i alla positioner utom en, där de har posten ett; alltså mängden

${\displaystyle \{(1_{A},0_{a},\ldots ,0_{A}),\;(0_{A},1_{A},\ldots ,0_{a}),\;\ldots ,\;(0_{A},0_{A},\ldots ,1_{A})\}}$.