Symmetrisk grupp

Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M, d. v. s. bijektiva avbildningar från M till sig själv, med funktionssammansättning som gruppoperator.

De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalitet är isomorfa. Man talar därför om den symmetriska gruppen på n element, och betecknar denna med S_n. S_n har n! element. Endast för n ≤ 2 är S_n abelsk.

För alla n ≥ 3, n ≠ 4 har S_n endast en icke-trivial normal delgrupp, den alternerande gruppen A_n, bestående av de jämna permutationerna. Gruppen S₄ har dessutom den normala delgruppen Kleins fyragrupp.

Cayleys sats säger att varje grupp G är isomorf med en delgrupp till Sym(G) genom avbildningen ${\displaystyle g\mapsto (h\mapsto gh)}$.

Symmetriska grupperna är viktiga i flera matematiska områden, såsom Galoisteori, invariantteori, representationsteorin av Liegrupper och kombinatorik.