Astroide

Die Astroide (auch Sternkurve genannt) ist eine ebene Kurve, die sich mit einem Parameter ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$ durch die Parametergleichungen^[1]

${\displaystyle x=a(\cos t)^{3}\ }$

${\displaystyle y=a(\sin t)^{3}\ }$

oder durch die implizite Gleichung

${\displaystyle x^{\frac {2}{3}}+y^{\frac {2}{3}}=a^{\frac {2}{3}}\,}$^[1],  welche äquivalent zu   ${\displaystyle \quad (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0}$ ist,

beschreiben lässt. ${\displaystyle a}$ ist dabei eine feste positive, reelle Zahl. Sie ist die Kurve, die ein Punkt auf einem Kreis mit Radius ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}a}$ beschreibt, der innen auf einem Kreis mit Radius ${\displaystyle a}$ abrollt. Sie ist also eine spezielle Hypozykloide.

Für ihren Flächeninhalt ${\displaystyle A}$ gilt^[1]

${\displaystyle A={\frac {3}{8}}\pi a^{2}}$.

Die Länge ${\displaystyle \ell }$ der gesamten Kurve beträgt ${\displaystyle \ell =6a}$.^[1] Innerhalb eines Kurvenviertels ${\displaystyle 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}}$ gilt für die Bogenlänge

${\displaystyle s(t)={\frac {3}{2}}a\sin ^{2}(t)}$

und für den Krümmungsradius

${\displaystyle \rho (t)={\frac {3}{2}}a\sin(2t)}$.

Die Astroide ähnelt auch dem Karo auf gewöhnlichen Spielkarten.

1. ↑ ^{a b c d} Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 105.