Endomorphisme

En mathématiques, un endomorphisme est un morphisme (ou homomorphisme) d'un objet mathématique dans lui-même. Ainsi, un endomorphisme d'espace vectoriel ${\displaystyle E}$ est une application linéaire ${\displaystyle f:E\to E}$, et un endomorphisme de groupe ${\displaystyle G}$ est un morphisme de groupes ${\displaystyle f:G\to G}$, etc. En général, nous pouvons parler d'endomorphisme de n'importe quelle catégorie.

Étant donné un objet ${\displaystyle X}$ d'une catégorie ${\displaystyle C}$ et deux endomorphismes ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle X}$ (donc de type ${\displaystyle X\to X}$), la composée de ${\displaystyle g}$ par ${\displaystyle f}$, notée ${\displaystyle f\circ g}$ (prononcer f rond g), est aussi un endomorphisme de ${\displaystyle X}$ (elle a aussi le type ${\displaystyle X\to X}$). Comme l'application identité de ${\displaystyle X}$ est aussi un endomorphisme de ${\displaystyle X}$, nous voyons que l'ensemble de tous les endomorphismes de ${\displaystyle X}$ forme un monoïde, noté ${\displaystyle \operatorname {End} _{C}(X)}$ ou simplement ${\displaystyle \operatorname {End} (X)}$, si la catégorie est connue.