Operatorenrechnung

Unter Operatorenrechnung versteht man in der Elektrotechnik und der Systemtheorie der Nachrichtentechnik verschiedene historisch gewachsene mathematische Kalküle zur Beschreibung des Verhaltens von linearen zeitinvarianten Systemen.^[1] Anstelle der „klassischen“ Beschreibung durch Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme und deren aufwändiger Lösung beschreibt die Operatorenrechnung das Verhalten der elementaren Bauelemente und der komplexen Systeme durch Operatoren und führt damit die Differentialgleichungen auf algebraische Gleichungen zurück. Grundlegend wird in der Applikation heutzutage von Transformationen, wie z. B. der Laplace-, Fourier- oder Z-Transformation, gesprochen.^[2]

Mathematisch liegt dabei ein in den Dimensionen endlicher Funktionenvektorraum vor, welcher sich immer auch explizit algebraisch formulieren lässt.^[3]

Ein System wird dabei durch den folgenden einfachen algebraischen Zusammenhang beschrieben:

${\displaystyle \mathrm {Wirkung=Systemcharakteristik\star Ursache} }$

In allen Operatorenrechnungen verschwindet der Unterschied zwischen den Signalen und den Systemcharakteristiken. Beide werden gleichwertig durch die jeweiligen Operatoren repräsentiert.

Die unterschiedlichen Operatorenrechnungen entstanden in der nachfolgend gegebenen historischen Reihenfolge:

1. ↑ Alfred Mertins: Signaltheorie: Grundlagen der Signalbeschreibung, Filterbänke, Wavelets, Zeit-Frequenz-Analyse, Parameter- und Signalschätzung. Springer Fachmedien Wiesbaden, Wiesbaden 2020, ISBN 978-3-658-29647-6, doi:10.1007/978-3-658-29648-3 (springer.com [abgerufen am 10. November 2022]). 
2. ↑ Helmut Ulrich, Stephan Ulrich: Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation: Grundlagen und Anwendungen zu Elektrotechnik, Informatik, Kommunikations- und Regelungstechnik. Springer Fachmedien Wiesbaden, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-31876-5, doi:10.1007/978-3-658-31877-2 (springer.com [abgerufen am 10. November 2022]). 
3. ↑ Sadri Hassani: Operator Algebra. In: Mathematical Physics. Springer International Publishing, Cham 2013, ISBN 978-3-319-01194-3, S. 101–136, doi:10.1007/978-3-319-01195-0_4 (englisch, springer.com [abgerufen am 10. November 2022]).