Vecteur de Killing

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En mathématiques, un vecteur de Killing^{[N 1]}, ou champ de Killing, est un champ vectoriel^[1],[2],[3] sur une variété (pseudo-)riemannienne^[2] qui conserve la métrique de cette variété et met en évidence les symétries continues^[2],[3] de celle-ci.

Intuitivement un vecteur de Killing peut être vu comme un « champ de déplacement » ${\displaystyle \xi }$, c'est-à-dire associant à un point M de la variété le point M' défini par le déplacement de M le long de la courbe passant par M dont ${\displaystyle \xi }$ est le vecteur tangent. Sa propriété fondamentale est que ce champ représente une isométrie, c'est-à-dire qu'il conserve les distances. Ainsi, la distance entre deux points M et N est égale à la distance entre leurs images M' et N' par l'action de ${\displaystyle \xi }$.

Appliqué à une surface (variété de dimension 2) vue comme étant plongée dans un espace à trois dimensions, un tel champ permet par exemple de la faire « glisser » sur elle-même, sans qu'elle ne se déchire ni se plisse.

La formulation mathématique de cette propriété est appelée équation de Killing. Elle stipule que la dérivée de Lie de la métrique riemannienne par rapport au vecteur de Killing ${\displaystyle \xi }$ est nulle, soit, dans un système de coordonnées quelconque,

${\displaystyle D_{a}\xi _{b}+D_{b}\xi _{a}=0}$,

D étant la dérivée covariante associée à la métrique.

À partir de celle-ci, on en déduit un certain nombre de propriétés associées aux vecteurs de Killing.

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