Oktawy Cayleya

Oktawy Cayleya, oktoniony (łac. octo – osiem), liczby Cayleya – rozszerzenie kwaternionów stanowiące niełączną algebrę. Opisało ją niezależnie dwóch matematyków: John T. Graves w roku 1843 i Arthur Cayley w roku 1845.

Oktoniony są trzecią z kolei po liczbach zespolonych i kwaternionach algebrą powstałą przez zastosowanie konstrukcji Cayleya-Dicksona do liczb rzeczywistych.

Są algebrą 8-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych. Z tego też powodu mogą być traktowane jako ośmioelementowe ciągi liczb rzeczywistych. Oktawa jest kombinacją liniową jedynki i 7 jednostek urojonych tworzących bazę standardową przestrzeni: 1, e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆ i e₇. Gdzie e₁...e₇ podniesione do kwadratu dają −1. Działanie dodawania na oktawach jest równoważne dodawaniu wektorów 8-wymiarowej przestrzeni, natomiast działanie mnożenia definiuje poniższa tabela:

Kolejność w mnożeniu to wiersze (e_i) – kolumny (e_j). Stąd też:

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}=-e_{k}}$ dla ${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle e_{i}e_{j}=e_{k}\ \to \ e_{i\oplus 1}e_{j\oplus 1}=e_{k\oplus 1}\ \wedge \ e_{2\odot i}e_{2\odot j}=e_{2\odot k}}$

tu działania ${\displaystyle \oplus ,\ \odot }$ oznaczają:

• ${\displaystyle a\oplus b=(a+b){\bmod {8}}={\begin{cases}a+b,&{\text{jeśli }}a+b\leqslant 7\\a+b-8,&{\text{jeśli }}a+b>7\end{cases}}}$
• ${\displaystyle 2\odot a=(2a){\bmod {8}}=a\oplus a}$

Oktawy stanowią jedyną algebrę skończonego wymiaru nad ciałem liczb rzeczywistych z wykonalnym dzieleniem, w której mnożenie nie jest łączne, ale jest alternatywne (tj. łączne w algebrze tworzonej przez każde dwa z jej elementów).

Oktawy Cayleya zawierają w sobie algebry izomorficzne z:

• liczbami rzeczywistymi,
• liczbami zespolonymi,
• kwaternionami.

Z drugiej strony można zanurzyć w następujących algebrach:

• sedeniony