Cepstrum

Das Cepstrum (Plural Cepstra) ist das Ergebnis einer mathematischen Transformation im Bereich der Fourier-Analyse und kann als Analogon zum Frequenzspektrum betrachtet werden. Der Begriff Cepstrum wurde 1963 in einem Artikel von Bogert, Healy und Tukey^[1] eingeführt. Das Cepstrum wird verwendet, um periodische Strukturen in Frequenzspektren zu analysieren^[2]. Solche Strukturen entstehen durch Echos/Reflexionen im Zeitsignal, oder durch das Auftreten von harmonischen Frequenzen wie z. B. Obertönen. Mathematisch behandelt das Cepstrum das Problem der inversen Faltung (Dekonvolution) von Signalen im Frequenzbereich^[3].

Referenzen auf den Artikel von Bogert, Healy und Tukey werden häufig falsch zitiert: Die Begriffe im Titel „quefrency“, „alanysis“, „cepstrum“ und „saphe“^[1] wurden durch die Autoren neu eingeführt, indem Buchstaben in den bekannten englischsprachigen Begriffen „frequency“, „analysis“, „spectrum“ und „phase“ anders angeordnet wurden.

So ergibt sich der Name „Cepstrum“ aus der Vertauschung der ersten vier Buchstaben von „Spectrum“. Während das Spektrum als Funktion der Frequenz definiert ist, ist das „Cepstrum“ eine Funktion der „Quefrenz“ (quefrency). Die Quefrenz hat als Einheit die „Zeit“.^[1][2][3] Die Quefrenz kann als Maß für die Zeitverschiebung von Mustern im Zeitbereich interpretiert werden.

Das Cepstrum ist das Ergebnis der folgenden Berechnungsreihenfolge:

1. Transformation eines Signals vom Zeitbereich in den Frequenzbereich
2. Logarithmieren der spektralen Amplituden
3. Transformation in den Quefrenz-Bereich, in dem die unabhängige Variable wieder eine Zeitachse darstellt^[1][2][3]

Für das Cepstrum gibt es zahlreiche Anwendungen:^[2][3]

• die Behandlung von Interferenzen von Signalen durch Echos oder Reflexionen (Radar-, Sonar- und Seismologische Anwendungen)
• Bestimmung der Grundfrequenz der Stimme eines Sprechers
• Spracherkennung und Analyse
• Medizinische Anwendungen im Bereich Elektroenzephalogramm (EEG) und Gehirnströme
• Analyse von Vibrationen von Maschinen, insbesondere im Zusammenhang mit Störungen an Getrieben, Turbinen oder anderen rotierenden Elementen^[2][4][5]

Vom Cepstrum gibt es zahlreiche Varianten. Für deren Benennung bleiben wir bei den Englischen Fachbegriffen. Die wichtigsten Varianten sind:

• Power Cepstrum: Logarithmiert wird das „Power Spectrum“ bzw. das Autoleistungsspektrum
• Complex Cepstrum: Logarithmiert wird das Frequenzspektrum, das durch die Fourier-Analyse ermittelt wird
• Real Cepstrum: Logarithmiert werden die Amplitudenwerte des Frequenzspektrums. Die Phase wird nicht verwendet.

Es existieren jedoch weitere Varianten, die im Folgenden nicht genauer erklärt werden.

1. ↑ ^{a b c d} B. P. Bogert, M. J. R. Healy, und J. W. Tukey: "The Quefrency Alanysis [sic] of Time Series for Echoes: Cepstrum, Pseudo Autocovariance, Cross-Cepstrum and Saphe Cracking". Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis (M. Rosenblatt, Ed) Chapter 15, 209-243. New York: Wiley, 1963.
2. ↑ ^{a b c d e} Michael Peter Norton, Denis Karczub: Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-49913-5 (google.com).  Vorlage:Cite book: Der Parameter language wurde bei wahrscheinlich fremdsprachiger Quelle nicht angegeben.
3. ↑ ^{a b c d} D. G. Childers, D. P. Skinner, R. C. Kemerait, "The Cepstrum: A Guide to Processing", Proceedings of the IEEE, Vol. 65, No. 10, October 1977, pp. 1428–1443.
4. ↑ R.B. Randall: Cepstrum Analysis and Gearbox Fault Diagnosis, Brüel&Kjaer Application Notes 233-80, Edition 2.
5. ↑ Beckhoff information system: TF3600 TC3 Condition Monitoring: Gearbox monitoring (online, 4. April 2020).