1-forma

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In algebra lineare, una 1-forma su uno spazio vettoriale è sinonimo di funzionale lineare su tale spazio. In tale contesto, la dicitura "1-forma" è solitamente utilizzata per distinguere i funzionali lineari da funzionali multilineari di grado maggiore (una forma multilineare di grado n è un'espressione polinomiale che è lineare rispetto a tutte le n variabili su cui è definita).

In geometria differenziale, una 1-forma differenziale su una varietà differenziabile è una sezione liscia del fibrato cotangente, lo spazio duale del fibrato tangente. In modo equivalente, una 1-forma su una varietà ${\displaystyle M}$ è una funzione liscia ${\displaystyle \alpha }$ definita dallo spazio totale del fibrato tangente di ${\displaystyle M}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ la cui restrizione ad ogni fibra è un funzionale lineare sullo spazio tangente. In simboli:

${\displaystyle \alpha :TM\rightarrow {\mathbb {R} }\qquad \alpha _{x}=\alpha |_{T_{x}M}:T_{x}M\rightarrow {\mathbb {R} }}$

dove ${\displaystyle \alpha _{x}}$ è lineare.

Spesso le 1-forme sono descritte localmente come combinazioni lineari dei differenziali delle coordinate:

${\displaystyle \alpha _{x}=f_{1}(x)\,dx_{1}+f_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +f_{n}(x)\,dx_{n}}$

dove ${\displaystyle f_{i}}$ sono funzioni lisce. Da questo punto di vista, una 1-forma obbedisce ad una legge di trasformazione covariante per cambiare sistema di coordinate. Si tratta quindi di un campo tensoriale covariante di ordine 1.