Equazione di Helmholtz

In analisi matematica, l'equazione agli autovalori del laplaciano si chiama equazione di Helmholtz.

Si tratta di un'equazione differenziale alle derivate parziali ellittica del secondo ordine a cui si può ricondurre in alcuni casi per esempio l'equazione delle onde: in questo caso permette di ricavare rapidamente la relazione di dispersione. Altri casi notevoli in cui l'equazione agli autovalori del laplaciano è uno strumento utile sono l'equazione della diffusione e le equazioni ellittiche del secondo ordine. Anche la teoria della trave elastica, e in particolare i problemi di carico di punta secondo Eulero sono riconducibili a casi pratici dell'equazione di Helmholtz.^[1]

Molte funzioni speciali sono ottenute cercando soluzioni dell'equazione di Helmholtz con il metodo di separazione delle variabili in coordinate curvilinee. Alcuni esempi sono le armoniche cilindriche, le funzioni paraboliche del cilindro e le armoniche sferiche.

Eisenhardt dimostrò nel 1934 che esistono solamente undici sistemi di coordinate curvilinee che permettono di trovare soluzioni dell'equazione di Helmholtz con il metodo di separazione delle variabili.