Grupo circular

El grupo circular, representado por ${\displaystyle S^{1}}$, es el grupo multiplicativo formado por los números complejos ubicados sobre la circunferencia unidad ${\displaystyle S^{1}}$ del plano complejo, es decir, los números complejos cuyo valor absoluto es 1. En símbolos,

${\displaystyle S^{1}=\{z\in \mathbb {C} :\vert z\vert =1\}}$,

con la operación de grupo la multiplicación de números complejos. Puesto que el producto de números complejos es conmutativo, se trata de un grupo abeliano.

Todo elemento de ${\displaystyle S^{1}}$ es de la forma ${\displaystyle e^{i\theta }}$, con e la base del logaritmo natural, i la unidad imaginaria y θ un número real cualquiera. Esta caracterización de los elementos de ${\displaystyle S^{1}}$ hace manifiesta la interpretación geométrica de su producto, pues ${\displaystyle e^{i\theta _{1}}\cdot e^{i\theta _{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}}$, lo que muestra que el producto de elementos de ${\displaystyle S^{1}}$ equivale a una rotación respecto del origen del plano complejo.

El grupo circular es un subgrupo del grupo multiplicativo de los números complejos no nulos, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\{z\in \mathbb {C} :z\neq 0\}}$. Un resultado interesante es que, de hecho, los grupos multiplicativos ${\displaystyle S^{1}}$ y ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ son isomorfos.^[1]​

Una forma equivalente de definir al grupo circular es como el grupo multiplicativo de las matrices unitarias complejas de ${\displaystyle 1\times 1}$, representado por ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$.

1. ↑ Clay, James R (1969-10). «The punctured plane is isomorphic to the unit circle». Journal of Number Theory (en inglés) 1 (4): 500-501. doi:10.1016/0022-314X(69)90011-0. Consultado el 12 de noviembre de 2021.